微积分
引子
\(\lim_{x \to x_0} = A\)
函数
三角函数
正弦函数：\(\sin x\) 余弦函数：\(\cos x\) 正切函数：\(\tan x\) = \(\frac{\sin x}{\cos x}\) 余切函数：\(\cot x\) = \(\frac{\cos x}{\sin x}\)
反正弦函数：\(\arcsin x\) = \(\sin^{-1} x\) 反余弦函数：\(\arccos x\) = \(\cos^{-1} x\) 反正切函数：\(\arctan x\) = \(\tan^{-1} x\) 反余切函数：\(\text{arccot} \ x\) = \(\text{cot}^{-1} x\)
正割函数：\(\sec x\) = \(\frac{1}{\cos x}\) 余割函数：\(\csc x\) = \(\frac{1}{\sin x}\)
对数函数
一般对数函数：\(\log_a x\) 自然对数函数：\(\ln x\) = \(\log_e x\) 常用对数函数：\(\lg x\) = \(\log_{10} x\)
指数函数
指数函数：\(a^x\)
幂函数
幂函数：\(x^a\)
性质
-
有界性
-
单调性
-
奇偶性
-
周期性
极限
数列极限
如果序列中的元素，随着序号的增加，而越来越接近某个特定的值，那么这个值就是此序列的极限
$ a_n = \frac{1}{n} $ 计算数列前几项 $ a_1 = \frac{1}{1} \ \ a_2 = \frac{1}{2} \ \ a_3 = \frac{1}{3} $ 当 \(n\) 越来越大时，数列每一项都变得越来越小，但是不会变成 \(0\)，而是趋近于 \(0\) （我们只关注趋势，对于某一点是否能取到特定值，无所谓） 故表达为：\(\lim_{b \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)
定义
\({\forall} \ {\epsilon} > 0\)，$ {\exists} \ N > 0\(，当 \(n > N\) 时，\)|a_n - A| < {\epsilon}$，则 \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\)
给定一个 任意小 的正数 \(\epsilon\)，使得从第 \(N+1\) 起的每一项，其与极限值 \(A\) 之间的差异都小于 \(\epsilon\)
例： \(|a_n - A| < e^{\frac{\epsilon}{10}}\) 不是极限 因为 \(e^{\frac{\epsilon}{10}}\) 不是任意小的正数 * \({\frac{\epsilon}{10}}\) 的值域 \((0, +\infty)\) * \(e^{\frac{\epsilon}{10}}\) 的值域 \((1, +\infty)\)
充要条件
\(\lim_{n \to \infty} u_n = A \iff \lim_{n \to \infty} u_{2n} = \lim_{n \to \infty} u_{2n-1} = A\)
函数极限
函数在某一点或无穷远处，趋近于某个值，那么这个值就是函数的极限
\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\) 当 \(x\) 越来越大时，函数值越来越小，但是不会变成 \(0\)，而是趋近于 \(0\) （同上，我们只关注函数在某一点附近的趋势，而不是该点上的取值） 故表达为：\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\)
\(\lim_{x \to 2} x^2 = 4\) 当 \(x\) 趋近于 \(2\) 时，函数值趋近于 \(4\) 故表达为：\(\lim_{x \to 2} x^2 = 4\) 因为函数在 \(x=2\) 处的确切取值 \(f(2)\) 也等于 \(4\)，也可以说函数在 \(x=2\) 处是收敛的
定义
-
\(x \to x_0\)
- \(\forall \ \epsilon > 0, \exists \ \delta > 0\)，当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，\(|f(x) - A| < \epsilon\)，称 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\) > 给定 任意小 的正数 \(\epsilon\) 和 \(\delta\)，当 \(x\) 与 \(x_0\) 之间的差异小于 \(\delta\) 时 > 函数值与极限值 \(A\) 之间的差异都小于 \(\epsilon\)
-
\(x \to \infty\)
- \(\forall \ \epsilon > 0, \exists \ \delta > 0\)，当 \(|x| > \delta\) 时，\(|f(x) - A| < \epsilon\)，称 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = A\) > 给定 任意小 的正数 \(\epsilon\) 和 \(\delta\)，当 \(x\) 的绝对值大于 \(\delta\) 时 > 函数值与极限值 \(A\) 之间的差异都小于 \(\epsilon\)
充要条件
\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff f(x_0^-) = f(x_0^+) = A\)
无穷大小
性质
运算
连续
函数在某个区间内的所有点都 存在 且 无间断，那么这个函数就是连续的
间断点
\(\text{d}y = A \ \text{d}x\)
导数
导数 用来描述函数在某一点的 变化率 或 斜率
平行于 \(X\) 轴的直线 \(f(x) = 5\) 无论 \(x\) 取多少，\(y\) 都是 \(5\) 因此不存在斜率变化，故 \(f'(x) = 0\)
定义：导数的极限定义
- 计算函数在 \(x\) 和 \(x_0\) 的函数值：\(f(x)\) 和 \(f(x_0)\)
- 计算两点间的变化量：\(f(x)-f(x_0)\)
- 将变化量除以 \(x-x_0\)
-
当 \(x\) 趋近于 \(x_0\) 时，可以得知函数在 \(x_0\) 点的瞬时变化率 可导
-
\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处 连续
微分
\(\int^a_b f(x) \ \text{d}x\)
定积分
牛顿-莱布利兹定理
\(\int^a_b f(x) \ \text{d}x = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\)
不定积分
多元函数微分
多元函数积分
微分方程
--------下面是旧的----------
微积分之前先 化简 \(\left\{ \begin{aligned} 拆项、提项、同乘、同除 \\ 对数公式 \\ 三角公式 \\ \end{aligned} \right.\)
对数公式 1. \(▢ = e^{\ln ▢} = \ln e^▢\) 2. \(\ln ab = \ln a + \ln b\) 3. \(\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b\) 4. \(\log _a ^b = \frac{\ln b}{\ln a}\)
第一节 函数与极限
要多近有多近（柯西 cauchy 说的）
-
数列极限
- 单调有界
- 夹逼定理
- 定积分定义（用无穷个长方形的面积逼近曲线下的面积）
-
函数极限
- 洛必达（简单函数，容易求导，越求越简单）
- 等价代换（3组）
- 泰勒公式（8个）
- 导数定义（导数是变换率的极限，牛顿研究加速度）
- 拉格朗日中值定理（导数的几何意义，切线斜率）
函数
单调性
有界性
奇偶性
周期性
数列极限
数列极限概念
定义：\(\lim_{n \to \infty} a_n = a\)
\({\forall} {\epsilon} > 0, {\exists} N > 0\)，当\(n > N\)时，\(|a_n - a| < {\epsilon}\)
注意：\(|a_n - a| < {\epsilon}\) 中的 \({\epsilon}\) 是任意小的正数，不是固定的，如果不是任意小，那么就不是极限了。
\(|a_n - a| < e^{\frac{\epsilon}{10}}\) 这个不是极限，因为 \(e^{\frac{\epsilon}{10}}\) 不是任意小的正数 * \({\frac{\epsilon}{10}}\) 的值域 \((0, +\infty)\) * \(e^{\frac{\epsilon}{10}}\) 的值域 \((1, +\infty)\)
所以 \(e^{\frac{\epsilon}{10}}\) 不是任意小的正数。
数列极限的充要条件
\(\lim_{n \to \infty} a_n = a <=> {\forall} 子列均收敛于 a\)
\(\lim_{n \to \infty} a_n = a <=> \lim_{n \to \infty} a_{2n} = \lim_{n \to \infty} a_{2n+1} = a\)
\(\lim_{n \to \infty} a_n = a <=> \lim_{n \to \infty} a_{3n} = \lim_{n \to \infty} a_{3n+1} = \lim_{n \to \infty} a_{3n+2} = a\)
数列极限的性质
- 唯一性：\(\lim_{n \to \infty} a_n = a\)，\(\lim_{n \to \infty} a_n = b\)，则 \(a = b\)
- 有界性：\(\lim_{n \to \infty} a_n {\exists}\)，则 \({a_n}\) 有界
- 局部保号性：\(\lim_{n \to \infty} a_n = a > 0\)，则 \({\exists} N > 0\)，当 \(n > N\) 时，\(a_n > 0\)
函数极限
函数极限概念
定义：
-
\(x -> x_0\)
-
\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)：\({\forall} {\epsilon} > 0, {\exists} {\delta} > 0\)，当 \(0 < |x - x_0| < {\delta}\) 时，\(|f(x) - A| < {\epsilon}\) 函数极限 \(x->x_0\) 但不允许 \(x=x_0\)（函数在 \(x_0\) 处不一定有定义）。
-
\(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A\)：\({\forall} {\epsilon} > 0, {\exists} {\delta} > 0\)，当 \(0 < x - x_0 < {\delta}\) 时，\(|f(x) - A| < {\epsilon}\)
-
\(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A\)：\({\forall} {\epsilon} > 0, {\exists} {\delta} > 0\)，当 \(0 < x_0 - x < {\delta}\) 时，\(|f(x) - A| < {\epsilon}\)
-
-
\(x -> \infty\)
- \(\lim_{x \to \infty} f(x) = A\)：\({\forall} {\epsilon} > 0, {\exists} X > 0\)，当 \(|x| > X\) 时，\(|f(x) - A| < {\epsilon}\)
- \(\lim_{x \to \infty^+} f(x) = A\)：\({\forall} {\epsilon} > 0, {\exists} X > 0\)，当 \(x > X\) 时，\(|f(x) - A| < {\epsilon}\)
- \(\lim_{x \to \infty^-} f(x) = A\)：\({\forall} {\epsilon} > 0, {\exists} X > 0\)，当 \(x < -X\) 时，\(|f(x) - A| < {\epsilon}\)
函数极限的充要条件
\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A <=> \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A\)
\(\lim_{x \to \infty} f(x) = A <=> \lim_{x \to \infty^+} f(x) = \lim_{x \to \infty^-} f(x) = A\)
函数极限的性质
- 唯一性：\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)，\(\lim_{x \to x_0} f(x) = B\)，则 \(A = B\)
- 局部有界性：\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)，则 \({\exists} {\delta} > 0\)， \(M > 0\)，当 \(0 < |x - x_0| < {\delta}\) 时，\(|f(x)| <= M\)
- 局部保号性：\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0\)，则 \({\exists} {\delta} > 0\)，当 \(0 < |x - x_0| < {\delta}\) 时，\(f(x) > 0\) 推论： \(f(x) >= 0\)，且 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)，则 \(A >= 0\)
$ f(x) > 0$，且 \(\lim_{n \to \infty} f(n) = A\)，则 \(A >= 0\) \(f(x) = 1/x\)，且 \(\lim_{x \to 0} f(x) = A\)，则 \(A >= 0\)
四则运算法则
-
\(\lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0} g(x)\)
-
\(\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x)\)
-
\(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)}\)，其中 \(\lim_{x \to x_0} g(x) \neq 0\)
推论：（提非零因子） 设 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A \neq 0\)， 则 \(\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = A \cdot \lim_{x \to x_0} g(x)\)
注意：四则运算法则（加减乘除拆开）求极限时，要求： 1. 极限存在 2. 极限值有意义（除数不为0）
$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3+3x-4}{3x^3-4x+3} \overset{ 同除x^3 }{=} \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2} - \frac{4}{x^3}}{3 - \frac{4}{x^2} + \frac{3}{x^3}} = \frac{2}{3}$
无穷小
无穷小概念
定义：$ \lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，则称 \(f(x)\) 为 \(x \to x_0\) 时的无穷小
无穷小的性质
- 有限个无穷小的和是无穷小（注意，不是无穷）
- 有限个无穷小的积是无穷小
- 无穷小乘以有界量是无穷小
有界量：\(|f(x)| <= M\)，\(M\) 是常数 $ \lim_{x \to {\infty}} \frac{sinx}{x} = \lim_{x \to {\infty}} \frac{1}{x} \cdot sinx = 0 \cdot sinx = 0$
无穷小阶的比较
$ \lim_{x \to x_0} f(x) = 0\(，\) \lim_{x \to x_0} g(x) = 0$，则：
- $ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，称 \(f(x)\) 为 \(g(x)\) 的 高阶 无穷小，记作 \(f(x) = o(g(x))\) 特别的，0是任意无穷小的高阶无穷小
$ \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{x^3} = 0\(，\)x^4$ 是 \(x^3\) 的高阶无穷小，记作 \(x^4 = o(x^3)\) \(o\) 的本质是阶数高的一类函数的集合，故有 $ {{x^5, x^6, ...}} ∈ o(x^3)$
-
$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = A \neq 0$，称 \(f(x)\) 为 \(g(x)\) 的 同阶 无穷小 特别的，当 \(A = 1\) 时，称 \(f(x)\) 为 \(g(x)\) 的 等价 无穷小，记作 \(f(x) \sim g(x)\)
-
$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g^k(x)} = C \neq 0$，称 \(f(x)\) 为 \(g(x)\) 的 k阶 无穷小
高阶无穷小的性质 \(x \to 0\)
- \(o(x^m) + o(x^n) = o(x^l)\)，其中 \(l = min(m, n)\)
\(o(x^3) + o(x^2) = o(x^2)\)
\(o(x^2) - o(x^2) = o(x^2)\) 因为 \(o(x^2.1) - o(x^2) = o(x^2)\)，\(o(x^2.1)\) 是 \(o(x^2)\) 的高阶无穷小
- \(k \cdot o(x^n) = o(x^n)\)
\(2 \cdot o(x^3) = o(x^3)\)
-
\(x^m \cdot o(x^n) = o(x^m) \cdot x^n = o(x^m) \cdot o(x^n) = o(x^{m+n})\)
-
\(\frac{o(x^m)}{x^n} = o(x^{m-n}) \ \ 条件：(m>n)\)
无穷大
无穷大的概念
定义：
-
$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$，则称 \(f(x)\) 为 \(x \to x_0\) 时的无穷大 \(\forall M>0, \exists \delta > 0\)，当 $ 0<|x-x_0|< \delta$ 时，有 \(f(x) > M\)
-
$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$，则称 \(f(x)\) 为 \(x \to \infty\) 时的无穷大 \(\forall M>0, \exists X > 0\)，当 $ |x| > X$ 时，有 \(|f(x)| > M\)
无穷大的性质
-
无穷大的倒数为无穷小 非零无穷小的倒数为无穷大
-
无穷大一定是无界量（$ \forall M > 0, \exists x_0$，使得 \(|f(x)| > M\)） 无界量不一定是无穷大
\(f(x) = x \cdot sinx, x \to \infty\) 令 \(x_n = 2n\pi + \frac{\pi}{x}\)，则 \(f(x_n) = 2n\pi + \frac{\pi}{2}\)，\(f(x_n) = (2n\pi + \frac{\pi}{2}) \cdot 1 \to \infty\) 令 \(x_n = 2n\pi\)，则 \(f(x_n) = 0\)，故\(f(x)\)为无界量，但不是无穷大
无穷大阶的比较
-
\(x \to +\infty\) \(ln^\alpha x \ll x^\beta \ll a^x \ll x^x\)，其中，$ \alpha $ 和 \(\beta > 0\), \(a>1\) 对数函数也叫伪无穷大（最弱的无穷大）
-
\(n \to \infty\) 数列的 n 趋于无穷，都是 \(\to + \infty\) \(ln^\alpha n \ll n^\beta \ll a^n \ll n! \ll n^n\)，其中，$ \alpha $ 和 \(\beta > 0\), \(a>1\)
\(\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0\)
洛必达法则
若：
- \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\) 或 $ = \frac{\infty}{\infty}$
- \(f(x), g(x) 可导\)
- \(\lim_{x \to x_0} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}\) 存在 或 无穷
则可洛必达：
$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$
$ \lim_{x \to \infty} \frac{x+sinx}{x} \overset{\frac{\infty}{\infty}} = \lim_{x \to \infty}(1+cosx)$ 震荡。（不存在了，不能使用洛必达）
\(\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} - 2}{x^2}\) =$ \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{2 \sqrt{1+x}} - \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}}{2x} $ =$ \frac{1}{4} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{x \sqrt{1+x} \sqrt{1-x}}$
等价代换 x->0
-
\(x \sim sinx \sim tanx\) \(\sim arcsinx \sim arctanx\) \(\sim ln(1+x) \sim e^x-1\)
-
\((1+x)^2-1 \sim 2x\) 特别的，\(\sqrt{1+x}-1 \sim \frac{x}{2}\) 所以有，\(\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{x}{n}\)
\(a^x-1 \sim xlna\)
\(x-ln(1+x) \sim 1-cosx \sim \frac{x^2}{2}\)
-
\(x-sinx \sim arcsinx-x \sim \frac{x^3}{6}\) 弦 \(tanx-x \sim x-arctanx \sim \frac{x^3}{3}\) 切 \(tanx-sinx \sim arcsinx-arctanx \sim \frac{x^3}{2}\) 弦+切
-
等价代换求极限
- 乘除可以代换，加减最简形式 \((x, x^2...)\) 不抵消时可以代换
\(ln(1+x) - sinx\) 经典错误： \(\sim x-x=0\) \(\sim x-sinx \sim \frac{x^3}{6}\) 法1：Taylor \(= x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) - [x-\frac{x^3}{3!} + o(x^3)]\) \(= -\frac{x^2}{2} + o(x^2) \sim -\frac{x^2}{2}\) 法2：拆项等价 \(ln(1+x) - x + x -sinx\) \(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} \sim -\frac{x^2}{2}\)
\(1-cosx+x^2 \sim \frac{x^2}{2}+x^2 = \frac{3x^2}{2}\)
- \(x \to 0\) 可以推广为 $ ▢ \to 0$
\(▢ = x^2\) 随便装，不过要趋于0 \(ln(1+▢) \sim ▢, ▢ \to 0\)
\(▢ - sin▢ \sim \frac{x^3}{6}, ▢ \to 0\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{(sinx - sinsinx)sinx}{x^4}\) \(= \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{sin^3x}{6} sinx}{x^4}\) \(= \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{sin^4x}{6}}{x^4}\) \(= \frac{1}{6}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{arctanx - x}{ln(1+2x^3)}\) \(= \lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x^3}{3}}{2x^3}\) \(= - \frac{1}{6}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{arctanx -sinx}{x^3}\) \(= \lim_{x \to 0} \frac{arctanx - x + x - sinx}{x^3}\) \(= \lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} }{x^3}\) \(= - \frac{1}{6}\)
- 乘除可以代换，加减最简形式 \((x, x^2...)\) 不抵消时可以代换
泰勒公式
Taylor
泰勒公式：\(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 的某邻域内 \(n+1\) 阶可导，则有：
\(f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)\)
\(R_n(x)\) 有两种：
-
拉格朗日（Lagrange）余项：$ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\(，\) \xi $ 在 \(x_0\) 与 \(x\) 之间
-
佩亚诺（Peano）余项：$ o((x-x_0)^n)$
麦克劳林公式 Maclaurin：\(f(x)\) 在 \(x=0\) 的某邻域内 \(n+1\) 阶可导，则有：
\(f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)\)
八个常见函数的泰勒公式
-
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + o(x^2)\)
-
\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)
-
\((1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + o(x^2)\) 特别地：\(\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2)\)
-
$ cosx = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)$ $ cosx = 1 - \frac{x^2}{2!} + o(x^2)$
-
$ sinx = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$
-
$ arcsinx = x + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$ （正负互换）
-
$ tanx = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$ （去掉阶乘）
-
$ arctanx = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$ （正负互换）
泰勒公式求极限
- \(x \to 0\) 可以推广为 \(▢ \to 0\)
\(e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{(x^2)^2}{2!} + o((x^2)^2)\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} - 2}{x^2}\) \(= \lim_{x \to 0} \frac{1+ \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2) + 1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2) - 2}{x^2}\) \(= \lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x^2}{4} + o(x^2)}{x^2}\) \(= - \frac{1}{4}\)
- 分子分母同阶原则，加减不抵消原则
\(\lim_{x \to 0} \frac{cosx - e^{- \frac{x^2}{2}}}{x^4}\) \(= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2!} + o(x^4))}{x^4}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{cosx - e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}\) \(= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2!*4} + o(x^4))}{x^4}\) \(= \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{x^4}{4!} - \frac{x^4}{2!*4} + o(x^4)}{x^4}\) \(= \frac{1}{12}\)
七类不定式
-
\(\frac{0}{0}\)
- 洛必达 -> 等价 -> 泰勒
-
\(\frac{\infty}{\infty}\)
- 洛必达 -> 同除（最高次幂） -> 抓大头（每个因式保留高阶无穷大）
-
\(0 \cdot \infty\)
- 同除简单因式（转换为 \(\frac{0}{0} \frac{\infty}{\infty}\)） -> 拆项等价 -> 洛必达
-
\(\infty - \infty\)
- 通分（有分数） -> 有理化（有根式） -> 倒带换（令 \(x = \frac{1}{t}\) ）
-
\(0^0\)
-
\(\infty^0\)
- \(\lim_{x \to ▢}u^v = \lim_{x \to ▢} e ^ {v \ln u} \overset{ 极限交换, e^x连续 }{=} e ^{\lim_{x \to ▢}v \ln u}\)
\(\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln ^ \beta x = 0 (\alpha, \beta > 0)\)
-
\(1^\infty\)
-
\(\lim_{x \to ▢}(1 + u)^v = e ^ {\lim_{x \to ▢} v \ln (1+u)} = e^{\lim_{x \to ▢} u v} (u \to 0, v \to \infty)\)
-
\(\lim_{x \to ▢}u^v = \lim_{x \to ▢}(1 + (u-1))^v = e^{\lim_{x \to ▢} (u-1) v} (u \to 1, v \to \infty)\)
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单调有界定理
\(\{x_n\} \uparrow\) 有上界或 \(\{x_n\} \downarrow\) 有下界，则 \(\lim_{n \to \infty} x_n\) 存在。 注：上界或下界不唯一